Математическое ожидание случайной величины. Свойства математического ожидания. Задачи по теории вероятностей с решением онлайн || Теория вероятности математическое ожидание

Содержание

• 1 Определение
• 2 Задача 1
• 3 Математическое ожидание случайного вектора
• 4 Простейшие свойства математического ожидания
• 5 Дополнительные свойства математического ожидания
• 6 Примеры
• 7 Литература
• 8 Ссылки

Определение

Пусть задано вероятностное пространство(Ω,A,P){displaystyle (Omega ,{mathfrak {A}},mathbb {P} )} и определённая на нём случайная величинаX{displaystyle X}. То есть, по определению, X:Ω→R{displaystyle Xcolon Omega to mathbb {R} } — измеримая функция. Если существует интеграл Лебега от X{displaystyle X} по пространству Ω{displaystyle Omega }, то он называется математическим ожиданием, или средним (ожидаемым) значением и обозначается M[X]{displaystyle M[X]} или E[X]{displaystyle mathbb {E} [X]}.

M[X]=∫ΩX(ω)P(dω).{displaystyle M[X]=int limits _{Omega }!X(omega ),mathbb {P} (domega ).}

M[X]=∫−∞∞xdFX(x);x∈R{displaystyle M[X]=int limits _{-infty }^{infty }!x,dF_{X}(x);xin mathbb {R} }.

Математическое ожидание абсолютно непрерывной случайной величины, распределение которой задаётся плотностьюfX(x){displaystyle f_{X}(x)}, равно

M[X]=∫−∞∞xfX(x)dx{displaystyle M[X]=int limits _{-infty }^{infty }!xf_{X}(x),dx}.

https://www.youtube.com/watch?v=ytcopyrightru

Если X{displaystyle X} — дискретная случайная величина, имеющая распределение

P(X=xi)=pi,∑i=1∞pi=1{displaystyle mathbb {P} (X=x_{i})=p_{i},;sum limits _{i=1}^{infty }p_{i}=1},

то прямо из определения интеграла Лебега следует, что

M[X]=∑i=1∞xipi{displaystyle M[X]=sum limits _{i=1}^{infty }x_{i},p_{i}}.

Задача 1

Случайные величины

 и

 независимы
и распределены равномерно.

 -в интервале

,

 -в
интервале

. Найти математическое ожидание случайной
величины

.

Для
случайных величин

 известны характеристики

Найдите
математическое ожидание

Математическое ожидание случайного вектора

Пусть X=(X1,…,Xn)⊤:Ω→Rn{displaystyle X=(X_{1},dots ,X_{n})^{top }colon Omega to mathbb {R} ^{n}} — случайный вектор. Тогда по определению

M[X]=(M[X1],…,M[Xn])⊤{displaystyle M[X]=(M[X_{1}],dots ,M[X_{n}])^{top }},

то есть математическое ожидание вектора определяется покомпонентно.

Пусть g:R→R{displaystyle gcolon mathbb {R} to mathbb {R} } — борелевская функция, такая что случайная величина Y=g(X){displaystyle Y=g(X)} имеет конечное математическое ожидание. Тогда для него справедлива формула

M[g(X)]=∑i=1∞g(xi)pi,{displaystyle Mleft[g(X)right]=sum limits _{i=1}^{infty }g(x_{i})p_{i},}

если X{displaystyle X} имеет дискретное распределение;

M[g(X)]=∫−∞∞g(x)fX(x)dx,{displaystyle Mleft[g(X)right]=int limits _{-infty }^{infty }!g(x)f_{X}(x),dx,}

если X{displaystyle X} имеет абсолютно непрерывное распределение.

Если распределениеPX{displaystyle mathbb {P} ^{X}} случайной величины X{displaystyle X} общего вида, то

M[g(X)]=∫−∞∞g(x)PX(dx).{displaystyle Mleft[g(X)right]=int limits _{-infty }^{infty }!g(x),mathbb {P} ^{X}(dx).}

В специальном случае, когда g(X)=Xk{displaystyle g(X)=X^{k}}, математическое ожидание M[g(X)]=M[Xk]{displaystyle M[g(X)]=M[X^{k}]} называется k{displaystyle k}-м моментом случайной величины.

Простейшие свойства математического ожидания

• Математическое ожидание числа (не случайной, фиксированной величины, константы) есть само число.

M[a]=a{displaystyle M[a]=a}

a∈R{displaystyle ain mathbb {R} } — константа;

• Математическое ожидание линейно, то есть

M[aX bY]=aM[X] bM[Y]{displaystyle M[aX bY]=aM[X] bM[Y]},

где X,Y{displaystyle X,Y} — случайные величины с конечным математическим ожиданием, а a,b∈R{displaystyle a,bin mathbb {R} } — произвольные константы;

В частности, математическое ожидание суммы (разности) случайных величин равно сумме (соответственно – разности) их математических ожиданий.

• Математическое ожидание сохраняет неравенства, то есть если 0⩽X⩽Y{displaystyle 0leqslant Xleqslant Y}почти наверняка, и Y{displaystyle Y} — случайная величина с конечным математическим ожиданием, то математическое ожидание случайной величины X{displaystyle X} также конечно, и более того

0⩽M[X]⩽M[Y]{displaystyle 0leqslant M[X]leqslant M[Y]};

• Математическое ожидание не зависит от поведения случайной величины на событии вероятности нуль, то есть если X=Y{displaystyle X=Y}почти наверняка, то

M[X]=M[Y]{displaystyle M[X]=M[Y]}.

• Математическое ожидание произведения двух независимых или некоррелированных^[3] случайных величин X,Y{displaystyle X,Y} равно произведению их математических ожиданий

M[XY]=M[X]M[Y]{displaystyle M[XY]=M[X]M[Y]}.

Дополнительные свойства математического ожидания

• Неравенство Маркова
• Теорема Леви о монотонной сходимости
• Теорема Лебега о мажорируемой сходимости
• Тождество Вальда
• Лемма Фату
• Правило Лопиталя
• Математическое ожидание случайной величины X{displaystyle X} может быть выражено через её производящую функцию моментовG(u){displaystyle G(u)} как значение первой производной в нуле: M[X]=G′(0){displaystyle M[X]=G'(0)}

Примеры

• Пусть случайная величина имеет дискретное равномерное распределение, то есть P(X=xi)=1n,i=1,…,n.{displaystyle mathbb {P} (X=x_{i})={frac {1}{n}},;i=1,ldots ,n.} Тогда её математическое ожидание

M[X]=1n∑i=1nxi{displaystyle M[X]={frac {1}{n}}sum limits _{i=1}^{n}x_{i}}

равно среднему арифметическому всех принимаемых значений.

• Пусть случайная величина имеет непрерывное равномерное распределение на интервале [a,b]{displaystyle [a,b]}, где a{amp}lt;b{displaystyle a{amp}lt;b}. Тогда её плотность имеет вид fX(x)=1b−a1[a,b](x){displaystyle f_{X}(x)={frac {1}{b-a}}mathbf {1} _{[a,b]}(x)} и математическое ожидание равно

M[X]=∫abxb−adx=a b2{displaystyle M[X]=int limits _{a}^{b}!{frac {x}{b-a}},dx={frac {a b}{2}}}.

• Пусть случайная величина X{displaystyle X} имеет стандартное распределение Коши. Тогда

∫−∞∞xfX(x)dx=∞{displaystyle int limits _{-infty }^{infty }!xf_{X}(x),dx=infty },

https://www.youtube.com/watch?v=ytadvertiseru

то есть математическое ожидание X{displaystyle X} не определено.

Литература

• Феллер В.Глава XI. Целочисленные величины. Производящие функции // Введение в теорию вероятностей и её приложения = An introduction to probability theory and its applicatons, Volume I second edition / Перевод с англ. Р. Л. Добрушина, А. А. Юшкевича, С. А. Молчанова Под ред. Е. Б. Дынкина с предисловием А. Н. Колмогорова. — 2-е изд. — М.: Мир, 1964. — С. 270—272.

Ссылки